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本文浅薄先容有限体积法(Finite Volume Method,FVM),并描摹OpenFOAM应用历程中会构兵到的一些基本见解。
注:本文内容整理自Wolf Dynamics公司公开的培训课本“A Crash Introduction to the Finite Volume Method and Discretization Schemes in OpenFOAM®”。本文为扫盲,更详确的内容可参阅课本《The Finite Volume Method in Computational Fluid Dynamics》,F. Moukalled, L. Mangani, M. Darwish。文中的公式很长,不错足下滑动稽察完好的公式。
”咱们从通用输运方程脱手描摹FVM:
输运方程包含四大项,从左至右秩序为:瞬态项、对流项、扩散项以及源项。从此方程启程,不错很容易写出NS方程的抒发局面。CFD经营的野心是在给定界限条款与运转条款的情况下,求解出指定区域内通用输运方程的类似解。这是一个二阶方程,因此为了保证经营精度,有必要使迫害方程在空间与时辰上的阶次便是或高于方程的阶次,即迫害方程在空间和时辰上至少保证二阶精度。
1 区域迫害区域迫害(或网格生成)在于将经营区域分割为有限数目的划定体或单位,如下图所示。
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划定体的局面不错是自便的(如四面体、六面体、三棱柱、金字塔、多面体等),但围成这些划定体的面必须是平面。
如上图所示的划定体,其体中心
此花式称之为体中心法。在有限体积法迫害历程中,需要跟踪无数的几何信息。
为便于后续描摹,这里对于如下图所示的划定体作念一些商定:
划定体图片
2 高斯散度定理高斯散度定理描摹为:
其中,
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浅薄来讲,高斯散度定理描摹为:矢量场的散度在体积D上的体积分便是矢量场在截止该体积的闭合曲面s上的面积分。高斯散度定理是FVM的基础,其用于将划定方程中出现的体积分转念为面积分。
对于通用划定方程:
不错通过高斯散度公式转念为:
此时问题转念为梯度项、越过网格面上的扩散通量、对流项以及源项的迫害。
对于对流项,专揽高斯散度公式不错将体积分转念为:
对于扩散项,相通不错改写为:
对于梯度项,不错改写为:
对于源项,不错改写为:
式中,
通过这么调遣后,划定方程可转念为底下的局面:
其中,
划定体界限面上的对通顺量值需要通过该面两侧的划定体中心变量插值经营。插值门径有好多,这里仅展示一些最常用的。
3.1 线性插值如下图所示,不错专揽线性插值经营对通顺量中的界限面上的值:
其中:
这种插值风光成为线性插值(linear interpolation)或中心差分(central differencing),其具有二阶精度。然则在一些工况下,此插值花式可能会产生求解激荡,其为无界风光。
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3.2 一阶迎格调式对通顺量的面值经营还不错选择底下的花式:
这里的
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这种类型的插值决策被称为逆风差分(upwind differencing),其为一阶精度。
此风光是有界的(无激荡),但存在数值扩散。
3.3 二阶迎格调式如下图所暗示,对通顺量值可经营为:
这种类型的插值决策被称为二阶逆风差分(second order upwind differencing,SOU)、线性逆风差分(linear upwind differencing, LUD)或Beam-Warming,该插值风光具有二阶精度。对于强对流或流动存在强梯度情况时,此风光存在激荡(无界风光)。
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为防患SOU风光的求解激荡,不错增多斜率划定器函数
当划定器检测到强梯度或强斜率变化时,其会在局部切换到低差别率风光(一阶迎格调式)。
划定器函数的见解基于连气儿梯度的比率监测,举例,
通过增多一个全心假想的划定器,不错得到高差别率风光(二阶精度)和有界风光(HR),这是一个TVD风光。
3.4 TVD风光在CFD中,咱们需要一个牢固的、无激荡的、有界的、高阶精度经营风光。Sweby图给出的下图描摹了TVD的充要条款。图中暗影区域流露可选择的TVD区域。然则并非整个的划定器函数都是二阶精度的。图中高差别率风光落在蓝色区域,低差别率风光落在灰色区域。划定器的流弊是当r<0时,它们会局部地将风光精度镌汰到一阶(低差别率风光)。然则当它能起到扼制激荡的作用时,这是合理的。
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图中的UD = upwind;SOU = second order upwind;CD = central differencing;D = downwind。咫尺还莫得一个特定的划定器不错很好地惩办整个的问题,而特定的聘请通常是在反复测验的基础上作念出的。
底下比拟upwind、 linear upwind、linear、Minmod TVD风光在数值风光杀手级测试案例(均匀矢量场(纯对流)中的双歪斜双台阶散播)中的发扬,即使这个问题看起来很容易,但从数值上看,由于厉害的不连气儿性导致问题很难求解。要经营的问题如下所示。
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此问题有精准解(图中玄色线条上的温度散播):
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选择不同的求解风光得到的温度散播如下图所示。
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定量比拟如下图所示。
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3.5 非结构网格插值处理前边对于网格面上通量值的经营中,假定了一个线性结构(单位中心是对都的),如下图A所示。
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在非结构化网格中(通常用于工业情况),多数情况下单位格中心PP与相连单位格P和N的向量不合都(上图B),因此前边的经营公式思要试验到非结构网格中并不太容易。
绕过此问题的一种浅薄花式是把柄划定体P处的梯度从头界说高阶风光。举例,对于下图所示的网格系统,
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使用网格梯度值不错选择如下花式经营面值,
属目到在新风光中,网格
在非结构化网格中,由于节点PP的值通常不成用或无法径直经营,因此可选择底下的花式经营相邻梯度的比率
不错看出,
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3.6 网格中心梯度经营咫尺有相当多的用于经营网格中心梯度的门径,如least squares、Gauss cell-based、Gauss node-based等。
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使用Gauss cell-based门径,网格体中心梯度可选择底下的花式经营:
淌若网格质地不错汲取,此经营门径具有二阶精度。通常最小二乘法要愈加精准。
3.6 面梯度经营面梯度(
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不才图所示的正交网格中,扩散通量中出现的界面梯度值不错选择底下的花式进行经营:
这里选择的是中心差分风光,具有二阶经营精度。
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而不才图所示的非正交网格内,界面梯度值经营为:
该经营门径具有二阶精度,但包含较大的截断特地。
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对于如下图所示的非正交网格系统:
这里选择的是超随性的门径。
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为了保证二阶计合经营精度,在应用中需要改变网格面的非正交及偏畸。固然理思情况下是生成具有正交性且无偏畸的网格,但本色应用中很难作念到。属目这里的正交指的是网格面网格体心向量地点一致,偏畸指的是体心向量与网格面的相交位置与网格面心位置不重合(如下图中的
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注:在本色应用历程中,尽可能的进步网格正交性,镌汰网格歪斜度。
”4 时辰迫害将划定方程对时辰积分,可迫害成底下的局面:
对于时辰迫害,不错使用的迫害风光包括:Crank-Nicolson、Euler implicit、forward euler、backward differencing、adams-bashforth及adams-moulton等。
在进行时辰迫害时,瞬态项的迫害花式不错与空间项不同,不错对每一项选择不同的迫害门径,只须保证每一项迫害至少为二阶,则举座迫害方程的精度为二阶。
5 线性方程组求解经过空间与时辰迫害后,不错将代数方程拼装成线性方程组:
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代数工程组不错使用迭代法或径直法进行求解。
6 OpenFOAM中的迫害OpenFOAM中整个这个词经营区域内将自便多面体划定体中的划定方程在空间和时辰上进行迫害。用这种门径拼装线性代数方程组,之后求解代数方程组得到输运物理量的解。因此,需要向OpenFOAM®提供以下信息:
经营区域迫害。区域迫害后的网格信息保存在文献夹constant/polyMesh中界限条款与运转条款。信息保存在0文献夹中物理属性。如密度、粘度、扩散所有、重力加快度等,保存在constant文献夹中物理模子。如湍流模子、传质传热、多相流、废弃等,保存在constant和/或system文献夹中划定方程空间迫害。包括扩散项、对流项、梯度项以及源项,参数保存在system/fvSchemes文献中时辰项迫害。参数保存在system/fvSchemes文献中代数方程求解。参数保存在system/fvSolution文献中求解器运行划定。参数保存在system/controlDict文献中6.1 fvSchemes文献fvSchemes文献中不错指定出咫尺划定方程中的不同项的迫害风光。一个浅薄的fvSchemes文献如下所示:
// 指定瞬态项迫害风光ddtSchemes{ default backward;}// 指定梯度项迫害风光gradSchemes{ default Gauss linear; grad(p) Gauss linear;}// 指定对流项迫害风光divSchemes{ default none; div(phi,U) Gauss linear;}// 指定扩散项迫害风光laplacianSchemes{ default Gauss linear orthogonal;}// 指定网格面插值风光interpolationSchemes{ default linear;}// 指定面法向梯度插值风光snGradSchemes{ default orthogonal;}
fvScheme文献中指定的划定项包括:
1、ddtSchemes项
ddtSchemes:指定的是瞬态项
一阶门径有界况且牢固,但具特别值扩散性。二阶门径是准确的,但它们在求解经营历程中可能会激荡。淌若在使用欧拉法时将CFL保捏在1以下,则数值扩散不会太大。OpenFOAM中完结的Crank-Nicolson门径使用了搀杂因子:
ddtSchemes{ default CrankNicolson Ψ;}
参数
2、gradSchemes项
gradSchemes指定的是梯度项
为了幸免梯度经营过度或不及,通常使用梯度划定器以进步门径的老成性,但同期也增多了数值扩散。梯度划定器源码位于旅途$FOAM_SRC/finiteVolume/finiteVolume/gradSchemes/limitedGradSchemes中,OpenFOAM中主要提供了以下几种划定器:cellLimited, cellMDLimited, faceLimited, faceMDLimited等。整个的梯度迫害算法至少都是二阶精度。
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cell划定器将划定网格到网格的值,face划定器将划定网格濒临网格值。多向(维)划定器(cellMDLimited和faceMDLimited)将对单独作用在每一个面方朝上。步骤划定器(cellLimited和faceLimited)将划定器应用于整个的梯度重量。
OpenFOAM中完结的梯度划定器不错使用搀杂因子
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建设 参数
3、divSchemes项
divschemes指定的是对流项
代码位于$FOAM_SRC/finiteVolume/interpolation/surfaceInterpolation,OpenFOAM中提供了一些常用的对流项迫害算法:
upwind:一阶精度,迎格调式linearUpwind:二阶精度,有界风光linear:二阶精度,无界风光vanLeer或Minmod:TVD风光,二阶精度,有界风光limitedLinear:二阶精度,无界风光,但牢固性要比linear要好,通常冷落用于LES模拟中LUST:搀杂风光,75%的linear+25%的linearUpwind风光一阶门径是有界的,牢固的,但存在数值扩散,二阶门径精度高,但求解历程可能会激荡。
在为对流项div(phi,U)指定为linearUpwind风光时,需要预先指定grad(U)的迫害风光。
gradSchemes{ grad(U) cellMDLimited Gauss linear 1.0;}divSchemes{ div(phi,U) Gauss linearUpwind grad(U);}
4、snGradSchemes项
snGradSchemes项迫害指的是网格面修正项
ddtSchemes{ default CrankNicolson 0;}gradSchemes{ default cellLimited Gauss linear 0.5; grad(U) cellLimited Gauss linear 1;}divSchemes{ default none; div(phi,U) Gauss linearUpwindV grad(U); div(phi,omega) Gauss linearUpwind default; div(phi,k) Gauss linearUpwind default; div((nuEff*dev(T(grad(U))))) Gauss linear;}laplacianSchemes{ default Gauss linear limited 1;}interpolationSchemes { default linear;}snGradSchemes{ default limited 1;}底下的门径具有最高的精度,但求解可能存在激荡。淌若但愿得回更高的精度,则不错使用此门径。总体而言,此建设具有二阶精度,但具有激荡通常将此建设用于LES模拟或层流,经营区域中莫得复杂的物理场和网格对高质地的网格使用此门径把柄网格的质地,需要鼎新laplacianSchemes和snGradSchemes关键字的搀杂因子
ddtSchemes{ default backward;}gradSchemes{ default Gauss leastSquares;}divSchemes{ default none; div(phi,U) Gauss linear; div(phi,omega) Gauss limitedlinear 1; div(phi,k) Gauss limitedLinear 1; div((nuEff*dev(T(grad(U))))) Gauss linear;}laplacianSchemes{ default Gauss linear limited 1;}interpolationSchemes{ default linear;}snGradSchemes{ default limited 1;}底下的门径具有最佳的牢固性,但也具有最大的数值扩散此建设决策经营相当牢固,但数值扩散较为严重此建设在时辰和空间上都是一阶的。不错使用此建设在存在劣质网格或强不连气儿性的情况下启动求解不错脱手使用一阶门径,然后切换到二阶门径把柄网格的质地,需要鼎新laplacianSchemes和snGradSchemes关键字的搀杂因子不错使用此门径进行调试经营
ddtSchemes{ default Euler;}gradSchemes{ default cellLimited Gauss linear 1; grad(U) cellLimited Gauss linear 1;}divSchemes{ default none; div(phi,U) Gauss upwind; div(phi,omega) Gauss upwind; div(phi,k) Gauss upwind; div((nuEff*dev(T(grad(U))))) Gauss linear;}laplacianSchemes{ default Gauss linear limited 0.5;}interpolationSchemes{ default linear;}snGradSchemes{ default limited 0.5;}本站仅提供存储职业,整个内容均由用户发布,如发现存害或侵权内容,请点击举报。
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